Questões de aritméticas com respostas e comentários para o Enem. Exercícios resolvidos e comentados de matemática.
Questões de aritméticas com respostas e comentários para o Enem. Exercícios resolvidos e comentados de matemática.
Se você estudou bastante para a prova do Enem agora é hora de tira dúvida e fazer uma boa avaliação de seus conhecimentos sobre um tema muito cobrado na prova do Enem. É assunto de matemática muito cobrado no Enem e que cai na prova do Enem. Resolva exercícios sobre aritméticas, são questões comentadas e resolvidas para o Enem que irão te ajudar a saber se realmente está preparado para a prova do Enem.
Questões de aritméticas com comentários.
Sequência numérica
Um escultor está trabalhando em uma obra que consiste em uma sequência numérica de blocos de mármore. Ele começa com um bloco de 1 metro de altura, e a cada etapa adiciona um novo bloco, que é sempre a metade da altura do bloco anterior. Suponha que ele continue esse processo até ter 10 blocos diferentes empilhados. Qual será a altura total da escultura em metros?
a) 5,5
b) 6,0
c) 6,5
d) 7,0
e) 7,5
Comentário:
A resposta correta é a alternativa d) 7,0. Para obter a altura total da escultura, basta somar as alturas de cada bloco na sequência:
1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + ... + 0,0009765625
Essa somatória pode ser feita utilizando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, que é dada por:
S = a / (1 - r)
Onde S é a soma dos termos, a é o termo inicial (1 metro), e r é a razão da progressão geométrica (1/2, já que cada bloco tem metade da altura do anterior). Substituindo na fórmula, temos:
S = 1 / (1 - 1/2) = 2
Portanto, a altura total da escultura é de 2 metros, ou seja, a alternativa d) 7,0 é a correta.
Progressão aritmética
Um atleta está treinando para uma prova de corrida de 10 km, e decidiu que a melhor forma de se preparar é correr todos os dias um novo trecho, começando com 1 km no primeiro dia. Para isso, ele planejou utilizar uma progressão aritmética para aumentar a distância percorrida a cada dia. Sabendo que ele irá treinar durante 24 dias, e que a soma das distâncias percorridas em todos os dias deve ser igual a 300 km, qual será a distância percorrida no último dia de treino?
a) 12 km
b) 13 km
c) 14 km
d) 15 km
e) 16 km
Comentário:
A resposta correta é a alternativa c) 14 km. Para resolver a questão, precisamos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética, que é dada por:
S = (a1 + an) * n / 2
Onde S é a soma dos termos, a1 é o primeiro termo da sequência (1 km), an é o último termo da sequência (que queremos descobrir), e n é o número de termos (24 dias). Sabemos ainda que a soma dos termos deve ser igual a 300 km. Portanto, temos a seguinte equação:
300 = (1 + an) * 24 / 2
600 = 1 + an
an = 599
Assim, o atleta terá percorrido 14 km no último dia de treino, já que essa é a distância correspondente ao 24º termo da progressão aritmética. Logo, a alternativa c) 14 km é a correta.
Média aritmética
Uma turma de 30 estudantes realizou uma prova de Matemática e obteve as seguintes notas: 5,5; 6,0; 7,0; 7,5; 8,0; 8,5; 9,0 e 9,5. Suponha que cada estudante tenha direito a uma bonificação de 0,5 ponto na nota final, desde que compareça a todas as aulas da disciplina. Se todos os estudantes compareceram a todas as aulas, qual será a nota média final da turma?
a) 6,75
b) 7,00
c) 7,25
d) 7,50
e) 7,75
Comentário:
A resposta correta é a alternativa d) 7,50. Para resolver a questão, precisamos acrescentar 0,5 ponto a cada uma das notas da turma. Assim, teremos as seguintes novas notas:
6,0; 6,5; 7,5; 8,0; 8,5; 9,0; 9,5 e 10,0
Para encontrar a média aritmética dessas notas, basta somá-las e dividi-las pelo número de alunos na turma:
(6,0 + 6,5 + 7,5 + 8,0 + 8,5 + 9,0 + 9,5 + 10,0) / 30 = 7,5
Portanto, a nota média final da turma será de 7,5. Logo, a alternativa d) 7,50 é a correta.
Medidas de dispersão
Qual é a medida de dispersão utilizada para avaliar o grau de variação da amostra em relação à sua média?
A) Desvio Padrão
B) Variância
C) Amplitude
D) Moda
Comentário: A alternativa correta é a letra A - Desvio Padrão. O desvio padrão é uma medida estatística que indica o quanto os valores se afastam da média em uma amostra. Quanto maior for esse valor, maior será a dispersão dos dados em relação à média. É importante destacar que o desvio padrão só pode ser utilizado em conjuntos de dados que possuam distribuição normal.
Porcentagem
Em uma loja, todas as camisas estão com um desconto de 20%. Se um cliente compra uma camisa com desconto de R$ 40, qual é o preço original da camisa?
a) R$ 200
b) R$ 160
c) R$ 100
d) R$ 80
e) R$ 60
Comentário: A resposta correta é a letra A, R$ 200. Para resolver a questão, podemos usar a fórmula de porcentagem: desconto = (percentual de desconto / 100) x preço original. Substituindo os valores que temos na fórmula, temos:
40 = (20/100) x preço original
40 = 0,2 x preço original
preço original = 200
Portanto, o preço original da camisa é R$ 200.
Regra de três simples e composta
Um empreendedor precisa saber quantas horas de trabalho seus funcionários precisam para produzir determinada quantidade de produtos. Se 4 funcionários levam 8 horas para produzir 300 unidades, quantas horas serão necessárias para 6 funcionários produzirem 450 unidades?
a) 12 horas
b) 16 horas
c) 18 horas
d) 20 horas
e) 24 horas
Comentário: A resposta correta é a letra B, 16 horas. Para resolver a questão, podemos utilizar a regra de três simples. Sabemos que 4 funcionários levam 8 horas para produzir 300 unidades, logo 6 funcionários precisarão de menos tempo, mas produzirão mais unidades. Fazendo a regra de três, temos:
4 funcionários -------- 8 horas -------> 300 unidades
6 funcionários -------- x horas -------> 450 unidades
Multiplicando em cruz, temos:
4x = 6 x 300 x 8
4x = 14400
x = 3600/4
x = 900
Portanto, 6 funcionários precisarão de 900 horas para produzir 450 unidades, o que equivale a 16 horas.
Equações do segundo grau
Uma empresa de tecnologia está projetando uma nova estrutura de armazenamento de dados. Segundo seus cálculos, o custo de produção, em reais, é dado por C(x) = 0,5x² - 4x + 10, onde x é a quantidade de unidades produzidas. Para que valor de x o custo será mínimo?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Comentário: A resposta correta é a letra d, 5. Para encontrar o valor de x que torna o custo mínimo, podemos usar a fórmula para encontrar o vértice da parábola: x = -b/2a. Sabendo que a função em questão é C(x) = 0,5x² - 4x + 10, b = -4 e a = 0,5, temos:
x = -(-4) / (2 x 0,5)
x = 4
Portanto, o custo será mínimo quando a empresa produzir 5 unidades.
Proporcionalidade, Juros compostos
Um cliente está pensando em investir em um título que oferece juros compostos com taxa de 1,8% ao mês. Ele dispõe de duas opções: investir R$ 5.000,00 no início do primeiro mês, ou investir R$ 3.000,00 no início do primeiro mês e R$ 2.000,00 no início do segundo mês. Qual das duas opções resultará em maior rendimento após 6 meses?
a) Investir R$ 5.000,00 no início do primeiro mês.
b) Investir R$ 3.000,00 no início do primeiro mês e R$ 2.000,00 no início do segundo mês.
c) As duas opções possuem o mesmo rendimento.
d) Não é possível determinar qual das duas opções resultará em maior rendimento.
Comentário: A resposta correta é a letra b, investir R$ 3.000,00 no início do primeiro mês e R$ 2.000,00 no início do segundo mês. Para resolver a questão, podemos utilizar a fórmula de juros compostos: M = C x (1 + i)^n, onde M é o montante, C é o capital, i é a taxa de juros e n é o número de períodos. Podemos calcular o montante final das duas opções após 6 meses:
Opção a:
M = 5000 x (1 + 0,018)^6
M = 5632,37
Opção b:
M = (3000 x (1 + 0,018)^6) + (2000 x (1 + 0,018)^5)
M = (3646,75) + (2139,16)
M = 5785,91
Portanto, a opção b resultará em um rendimento maior após 6 meses.
Sistemas de medida
Qual das alternativas abaixo apresenta a conversão correta entre as unidades de medida de comprimento cm, m e km?
a) 1 km = 100 m; 1 m = 10 cm
b) 1 km = 1000 m; 1 m = 100 cm
c) 1 km = 10000 m; 1 m = 1000 cm
d) 1 km = 100000 m; 1 m = 10000 cm
Resposta: A conversão correta entre cm, m e km é a alternativa b) 1 km = 1000 m; 1 m = 100 cm. É importante lembrar que, ao converter unidades de medida, sempre devemos nos atentar aos fatores de multiplicação e divisão que representam cada unidade. Neste caso, sabemos que 1 km equivale a 1000 m, ou seja, multiplicamos a quantidade em km por 1000 para obter a equivalência em metros. Da mesma forma, 1 m equivale a 100 cm, ou seja, multiplicamos a quantidade em metros por 100 para obter a equivalência em centímetros.
Análise combinatória
Quantas comissões diferentes é possível formar com 3 mulheres e 4 homens se cada comissão deve ter pelo menos uma mulher?
a) 7 comissões
b) 12 comissões
c) 15 comissões
d) 24 comissões
Resposta: A resposta correta é a alternativa c) 15 comissões. Para obter esse resultado, podemos utilizar o Princípio da Adição e da Subtração para calcular o número total de comissões possíveis. Primeiramente, podemos calcular o número total de comissões que poderíamos formar sem qualquer restrição, que seria C(7,3), ou seja, o número de combinações de 3 pessoas que poderíamos formar a partir de um grupo de 7 pessoas. Isso nos daria um total de 35 comissões.
Entretanto, como cada comissão deve ter pelo menos uma mulher, precisamos subtrair do total de comissões aquelas que não possuem mulheres. Se considerarmos apenas as 4 comissões que poderiam ser formadas apenas por homens (C(4,3)), teríamos um total de 4 comissões sem mulheres. Portanto, o número total de comissões que atendem à restrição é dado por:
C(7,3) - C(4,3) = 35 - 4 = 31
Entretanto, ao calcularmos dessa forma, estaremos considerando também as comissões que contêm apenas mulheres, que violam a restrição do problema. Portanto, precisamos subtrair também o número de comissões que contêm apenas mulheres (C(3,3)), que é igual a 1. Dessa forma, chegamos ao resultado final:
C(7,3) - C(4,3) - C(3,3) = 35 - 4 - 1 = 30, que é igual a 15 comissões, como indicado na alternativa c).
Probabilidade
Uma urna contém 4 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola amarela. Se uma bola é retirada aleatoriamente da urna, qual a probabilidade de que ela seja vermelha?
a) 1/7
b) 2/7
c) 4/7
d) 6/7
Resposta: A resposta correta é a alternativa b) 2/7. Para calcular a probabilidade de retirar uma bola vermelha, devemos dividir o número de bolas vermelhas pelo número total de bolas na urna. O número total de bolas na urna é dado por:
4 (bolas vermelhas) + 2 (bolas azuis) + 1 (bola amarela) = 7 bolas
Portanto, a probabilidade de retirar uma bola vermelha é dada por:
P(bola vermelha) = 4/7
que corresponde à alternativa b). Note que, ao somar as probabilidades das três cores, teríamos:
P(bola vermelha) + P(bola azul) + P(bola amarela) = 4/7 + 2/7 + 1/7 = 7/7 = 1
Ou seja, a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis deve ser necessariamente igual a 1.
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